以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[-M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=s

Question

以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[-M，M]．例如，当φ₁（x）=x³，φ₂（x）=sinx时，φ₁（x）∈A，φ₂（x）∈B．现有如下命题：
①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”⇔“∀b∈R，∃x∈R，f（a）=b”；
②若函数f（x）∈B，则f（x）有最大值和最小值；
③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B；
④若函数f（x）=(ax)/(x2+1)（a∈R），则f（x）∈B．
其中的真命题有______．（写出所有真命题的序号）．

Answer 1

（1）对于命题①
“f（x）∈A”即函数f（x）值域为R，
“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”表示的是函数可以在R中任意取值，
故有：设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”
∴命题①是真命题；
   （2）对于命题②
若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[-M，M]．
∴-M≤f（x）≤M．例如：函数f（x）满足-2＜f（x）＜5，则有-5≤f（x）≤5，此时，f（x）无最大值，无最小值．
∴命题②“函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值．”是假命题；
   （3）对于命题③
若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，
则f（x）值域为R，f（x）∈（-∞，+∞），
并且存在一个正数M，使得-M≤g（x）≤M．
∴f（x）+g（x）∈R．
则f（x）+g（x）∉B．
∴命题③是真命题．
（4）对于命题④∵函数f（x）=(ax)/(x2+1)
当x=0时，f（x）=0，
当x＞0时，x+(1)/(x)≥2，
∴0＜(1)/(x+(1)/(x))≤(1)/(2)，
当a=0时，f（x）=0，
当a＞0时，0＜f（x）≤(a)/(2)，
当a＜0时，(a)/(2)≤f(x)＜0，
当x＜0时，x+(1)/(x)≤-2，
−(1)/(2)≤(1)/(x+(1)/(x))＜0
当a=0时，f（x）=0，
当a＞0时，−(a)/(2)≤＜f（x）＜0，
当a＜0时，0＜＜f（x）≤−(a)/(2)，
综上所述即，f（x）∈B．
故命题④是真命题．
故答案为①③④．