求两端点为P1(1,-2,3),P2(3,0,-1)的线段P1P2的垂直平分面的一般式方程

Question

求两端点为P1(1,-2,3),P2(3,0,-1)的线 段P1P2的垂直平分面 的一般式方程

Answer 1

可以有两种方法.
一、设 P（x,y,z）是 P1P2 的垂直平分面上的任一点,则 |PP1|=|PP2| ,
因此 |PP1|^2=|PP2|^2 ,
用坐标写出来就是 (x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=(x-3)^2+(y-0)^2+(z+1)^2 ,
化简得 x+y-2z+1=0 .
二、向量 P1P2=（3-1,0+2,-1-3）=（2,2,-4）,
这就是线段 P1P2 的垂直平分面的法向量,
又 P1P2 的中点为（(1+3)/2,(-2+0)/2,(3-1)/2）,即 （2,-1,1）,
所以所求平面方程为 2(x-2)+2(y+1)-4(z-1)=0 ,
化简得 x+y-2z+1=0 .