如图，在等边三角形ABC中，M是BC边（不含端点B，C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点，已知∠AMN=60°，（1）求证：AM=MN；（2）当M在直线BC上运动时，上述结论是否成

Question

如图，在等边三角形ABC中，M是BC边（不含端点B，C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点，已知∠AMN=60°，
（1）求证：AM=MN；
（2）当M在直线BC上运动时，上述结论是否成立？若成立，请画图证明．

Answer 1

（1）证明：如图1，在AB上截取EA=MC，连接EM，得△AEM，
∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN，∠2=180°-∠AMB-∠B，∠AMN=∠B=60°，
∴∠1=∠2．
又∵CN平分∠ACP，∠4=(1)/(2)∠ACP=60°，
∴∠MCN=∠3+∠4=120°…①
又∵BA=BC，EA=MC，
∴BA-EA=BC-MC，即BE=BM，
∴△BEM为等边三角形，
∴∠6=60°，
∴∠5=180°-∠6=120°，
∴由①②得∠MCN=∠5．
在△AEM和△MCN中，

∠2=∠1

AE=MC

∠5=∠MCN

，
∴△AEM≌△MCN （ASA），
∴AM=NM；

（2） AM=NM仍然成立，理由如下：
如图2，连接AN，CN，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠BAC=60°，AB=AC．
∵CN为等边△ABC的外角∠ACP的平分线，
∴∠ACN=∠NCP=(1)/(2)∠ACP=60°，
∴∠AMN=∠ACN=60°，
∴A、C、M、N四点共圆，
∴∠NAM=∠NCM=∠BAC=60°，
∴∠BAC+∠CAM=∠NAM+∠CAM，即∠BAM=∠CAN，
∵AB=AC，∠ABM=∠ACN=60°，
在△ABM与△ACN中，

∠BAM=∠CAN

AB=AC

∠B=∠ACN

，
∴△ABM≌△ACN，
∴AN=AM，
∵∠AMN=60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴AM=NM．