幂级数x+x^2/2+x^3/3+.+x^n/n+...(1)求收敛半径.（2)指明在收敛域端点处级数是条件收敛,或绝对收敛或发散.（3）求和函数S(x)

Question

幂级数x+x^2/2+x^3/3+.+x^n/n+...(1)求收敛半径.（2)指明在收敛域端点处级数是条件收敛,或绝对收敛
或发散.（3）求和函数S(x)

Answer 1

（1）lim（n→∞）|a（n+1）/an|=lim（n→∞）n/（n+1）=1,所以该幂级数的收敛半径为1.
（2）当x=1时,幂级数为1+1/2+1/3+……+1/n+……,它是发散的；当x=-1时,幂级数为-1+1/2-1/3+……+（-1）^n/n+……,利用莱布尼兹判别法,可知该级数收敛.
（3）S(x)=x+x^2/2+x^3/3+.+x^n/n+...,x∈[-1,1）两边同时求导,得S'(x)=1+x+x²+……+x^(n-1)+……=1/（1-x）,所以S(x)=-ln（1-x）