已知椭圆C中心为坐标原点O一长轴端点(0,2)已知椭圆C的中心为坐标原点,一个长轴端点为（0,2）,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,直线l与y轴交于点P（0,m）,与椭圆C交于相异两

Question

已知椭圆C中心为坐标原点O一长轴端点(0,2)
已知椭圆C 的中心为坐标原 点,一个长轴端点为（0,2） ,短轴 端点和焦点所组成的四边形为正方形,直线l与 y 轴交于点 P （0 ,m ）,与椭圆 C 交于相异两点 A 、B ,且 向量AP＝2PB（1）求椭圆方程； （2）求 m 的取值范围．

Answer 1

（1）、一个长轴端点为（0,2）,可知长轴在y轴上,且a=2,又因为,短轴 端点和焦点所组成的四边形为正方形,所以b=c,又a^2=b^2+c^2,所以b=c=√2,设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1,代入得：x^2/2+y^2/4=1
（2）、因为l交y于点P （0 ,m ）,设直线方程为：y=kx+m,向量AP＝2PB,
连立A(Xa,Ya),B(Xb,Yb),求得：Xa=-Xb,Ya=2m-Yb=m-kXb,代入椭圆方程,化简成Xb的二元一次方程,因为与椭圆交于两点,所以判别式大于0,最后解得：m