如果方程x2+bx+c=0（c≠1）两根为tanα,tanβ求sin²（α+β）+b·sin（α+β）·cos（α+β）+c·cos²（α+β）的值.还有一题。已知△ABC中三内角A、B、C成等差数列，且（1/cosA）+（1/cosC）=（√2/cosB）

Question

如果方程x2+bx+c=0（c≠1）两根为tanα,tanβ
求sin²（α+β）+b·sin（α+β）·cos（α+β）+c·cos²（α+β）的值.
还有一题。
已知△ABC中三内角A、B、C成等差数列，且（1/cosA）+（1/cosC）=（√2/cosB），
求cos[（A-C）/2]的值。
等号后面是根号2除以cosB。

Answer 1

tanα+tanβ=-b,tanαtanβ=c,
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=-b/(1-c)
cos(2α+2β)=(1-tan²(α+β))/(1+tan²(α+β))=((1-c)²-b²)/((1-c)²+b²)
sin(2α+2β)=2tan(α+β)/(1+tan²(α+β))=-2b(1-c)/((1-c)²+b²)
所以有
sin²（α+β）+b·sin（α+β）·cos（α+β）+c·cos²（α+β）
=(1-cos(2α+2β))/2+bsin(2α+2β) /2+c(1+cos(2α+2β))/2
=c (带入整理即可)