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如果方程x2+bx+c=0(c≠1)两根为tanα,tanβ求sin²(α+β)+b·sin(α+β)·cos(α+β)+c·cos²(α+β)的值.还有一题。已知△ABC中三内角A、B、C成等差数列,且(1/cosA)+(1/cosC)=(√2/cosB)

题目详情
如果方程x2+bx+c=0(c≠1)两根为tanα,tanβ
求sin²(α+β)+b·sin(α+β)·cos(α+β)+c·cos²(α+β)的值.
还有一题。
已知△ABC中三内角A、B、C成等差数列,且(1/cosA)+(1/cosC)=(√2/cosB),
求cos[(A-C)/2]的值。
等号后面是根号2除以cosB。
▼优质解答
答案和解析
tanα+tanβ=-b,tanαtanβ=c,
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=-b/(1-c)
cos(2α+2β)=(1-tan²(α+β))/(1+tan²(α+β))=((1-c)²-b²)/((1-c)²+b²)
sin(2α+2β)=2tan(α+β)/(1+tan²(α+β))=-2b(1-c)/((1-c)²+b²)
所以有
sin²(α+β)+b·sin(α+β)·cos(α+β)+c·cos²(α+β)
=(1-cos(2α+2β))/2+bsin(2α+2β) /2+c(1+cos(2α+2β))/2
=c (带入整理即可)