（2014•防城港二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形．DC=4，PD⊥PB，点E是CD的中点．（Ⅰ）求证：AE⊥面PBD：（Ⅱ）求直线CB与平面PDC所成角的正弦值．

Question

（2014•防城港二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形．DC=4，PD⊥PB，点E是CD的中点．
（Ⅰ）求证：AE⊥面PBD：
（Ⅱ）求直线CB与平面PDC所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：E为CD中点，四边形DEBA为菱形，
在直角三角形PBD中，BD=2√(2)，
∴AB²+AD²=8=BD²，∴AB⊥AD，
∴四边形DEBA为正方形，∴AE⊥BD，
由已知得PA=PB=PD=2，
∴点P在底面ABCD内的射影O是△ABD的外心，
又AB⊥AD，∴O为BD中点，
∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AE，
又PO与BD是平面PBD的两条相交直线，
∴AE⊥平面PBD．
（Ⅱ）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，过A且与面AC垂直的直线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意知：B（0，2，0），C（2，4，0），D（2，0，0），P（1，1，√(2)），
∴

DC

＝(0，4，0)，

DP

＝(−1，1，√(2))，

BC

＝(2，2，0)，
设平面PCD的法向量为

n

＝(x，y，z)，
则

n

•

DC

＝0

n

•

DP

＝0

，∴

4y＝0

−x+y+√(2)z＝0

，
令x=√(2)，得y=0，z=1，∴

n

＝(√(2)，0，1)，
∴cos＜

n

，

BC

＞=(n•BC)/(|n|•|BC|)=(2√(2))/(√(3)•√(8))＝(√(3))/(3)，
∴直线CB与平面PDC所成角的正弦值为(√(3))/(3)．