如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，M为PB的中点．（Ⅰ）求PA与底面ABCD所成角的大小；（Ⅱ）求证：PA⊥平面CDM；（Ⅲ）求二面角D

Question

如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，M为PB的中点．
（Ⅰ）求PA与底面ABCD所成角的大小；
（Ⅱ）求证：PA⊥平面CDM；
（Ⅲ）求二面角D-MC-B的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）取DC的中点O，∵△PDC是正三角形，∴PO⊥DC，
又∵平面PDC⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD于O，
连接OA，则OA是PA在底面上的射影，
∴∠PAO就是PA与底面所成的角，
∵∠ADC=60°，△PCD和△ACD都是边长为2的全等的等边三角形，
∴OA=OP=√(22−12)=√(3)，
∴∠PAO=45°，
所以PA与底面ABCD所成角的大小为45°．
（Ⅱ）证明：∵底面ABCD是菱形，且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，
∴OA⊥DC，以OA为x轴，以OC为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（√(3)，0，0），P（0，0，√(3)），D（0，-1，0），B（√(3)，2，0），C（0，1，0），
∵M为PB的中点，∴M（(√(3))/(2)，1，(√(3))/(2)），
∴

作业帮用户 2016-12-08

问题解析

（Ⅰ）取DC的中点O，由△PDC是正三角形，知PO⊥DC，由平面PDC⊥底面ABCD，知PO⊥平面ABCD于O，所以∠PAO就是PA与底面所成的角，由此能求出PA与底面ABCD所成角的大小．
（Ⅱ）以OA为x轴，以OC为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够证明PA⊥平面DMC．
（Ⅲ）求出平面BMC的法向量

n

＝(−1，√(3)，1)和平面CDM的法向量

m

=（1，0，-1），利用向量法能求出二面角D-MC-B的余弦值．

名师点评

本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．

考点点评：

本题考查直线与平面所成角的求法，考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．

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