点M、N是边长为4的正三角形ABC边AB、AC上的动点,且满足：将△AMN沿MN折叠使A点恰好落在BC边上D点处.⑴△BDM与△CND相似吗?为什么?⑵若BD∶CD=2∶3,试求AM∶AN的值⑶若DN⊥BC,试求CN的值⑷当D从B移

Question

点M、N是边长为4的正三角形ABC边AB、AC上的动点,且满足：将△AMN沿MN折叠使A点恰好落在BC边上D点处.
⑴△BDM与△CND相似吗?为什么?
⑵若BD∶CD=2∶3,试求AM∶AN的值
⑶若DN⊥BC,试求CN的值
⑷当D从B移动到C,点N运动的总路长为多少?
关键是第4小题,大致写出过程.
第3小题答案是不是16-8根号3啊?
可是(16-8根号3)是大于2的啊...那第4题答案怎么又是2了呢?

Answer 1

因为角MDN=角A=60
所以角CDN＝180-角BDM-60
又在三角形BDM中,角BMD＝180-角BDM-60
所以角CDN＝角BMD
同理,角BDM＝角CND
所以三角BMD与三角CDN相似
BD:CD=2:3,所以BD=1.6,CD=2.4
两个三角形相似,所以有
BM:2.4=1.6:CN=DM:DN
代入AM=MD,AN=ND,BM=4-AM,CN=4-AN得
(4-AM):2.4=1.6:(4-AN)=AM:AN
所以2.4AM=4AN-AN*AM
1.6AN=4AM-AMAN
相减得,2.4AM-1.6AN=4AN-4AM
6.4AM=5.6AN
AM:AN=(5.6):(6.4)=7:8
当DN⊥BC时,设NC=x,则ND=AN=4-NC=4-x
在直角三角形NDC中,sinC=sin60=ND/NC=(4-x)/x=根号3/2
解得,x=8(2-根号3)
太小看这个小问,再认真想一下,其实D点是可以越过AC中点的～
当ND⊥BC时,N点到达离C点最远处
由第三小问知,此时NC=8(2-根号3)
当D点继续向C点移动时,N往AC中点移
所以N点的路程是：2×8(2-根号3)-(1/2)×4=20-16根号3