正三角形的一个顶点位于抛物线y^2=2px(P>0)的焦点,另外两个顶点在抛物线上,求这个三角形的边长.

Question

正三角形的一个顶点位于抛物线y^2=2px(P>0)的焦点,另外两个顶点在抛物线上,求这个三角形的边长.

Answer 1

设,正三角形为AFB,
A、B为该抛物线上两点,且三角形AFB是正三角形,
设,点A坐标为(t^2/4,t),则B点坐标为(t^2/4,-t).有
则F点坐标为(P/2,0)
根据AF=AB,
√[(t^2/4-p/2)^2+t^2]=√(t+t)^2,有
t^2-4√3t-2p=0,或t^2+4√3t-2p=0.
t1=2p+2√3,或t2=2p-2√3.
|AB|=√2t1=2p√2+2√6.或
|AB|=√2t2=2p√2-2√6.
(这个可是个公式啊,但要记住.)