如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=6，BD=8．点E为AD边上一动点，点F为CD边上一动点，且满足∠EOF=∠DAC，点E、F关于直线AC的对称点为G、H．（1）求证：△AOE∽△CFO；（2）若线段AE=x

Question

如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=6，BD=8．点E为AD边上一动点，点F为CD边上一动点，且满足∠EOF=∠DAC，点E、F关于直线AC的对称点为G、H．

（1）求证：△AOE∽△CFO；
（2）若线段AE=x，四边形AGOE与四边形CHOF的面积和为S．
①求S关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
②当S=(72)/(5)时，线段EF的长．

Answer 1

（1）证明：在菱形ABCD中，
∵AD=CD
∴∠DAC=∠DCA，
∵∠EOF=∠DAC，
∴∠AEO=180°-∠EAO-∠AOE，∠FOC=180°-∠AOE-∠EOF，
∴∠FOC=∠AEO，
∴△AOE∽△CFO；

（2） 在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=6，BD=8，
∴AO=3，BO=4，
∴AD=CD=5，
过O作OM⊥AD，ON⊥CD，
∴OM=ON=(12)/(5)，
∵△AOE∽△CFO，
∴(AE)/(OC)=(AO)/(CF)，
∴CF=(9)/(x)，
∵点E、F关于直线AC的对称点为G、H，
∴S_△AOG=S_△AOE，S_△COH=S_△COF，
∵①S_△AOE=(6)/(5)x，S_△COF=(54)/(5x)，
∴S=(12)/(9)（(9)/(x)+x）（(9)/(5)≤x≤5），
②当S=(72)/(5)时，x=3，
∴AE=CF=3，DE=DF=2，
∴(DE)/(AD)=(DF)/(CD)，∠ADC=∠EDF，
∴△DEF∽△ADC，
∴(EF)/(6)=(2)/(5)，
∴EF=(12)/(5)．