如图，正方形ABCD的边长为2，以对角线BD为边作菱形BEFD，点C、E、F在同一直线上．（1）求∠EBC的度数；（2）求CE的长．

Question

如图，正方形ABCD的边长为2，以对角线BD为边作菱形BEFD，点C、E、F在同一直线上．
（1）求∠EBC的度数；
（2）求CE的长．

Answer 1

（1）连接AC交BD于点O，过点E作EH⊥BD于点H，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴BD=AC=2√(2)，AC⊥BD，
∴OC=(1)/(2)AC=√(2)，
∵四边形BEFD是菱形，
∴BE=BD=2√(2)，BD∥EF，
∵点C、E、F在同一直线上，
∴EH=OC=√(2)，
在Rt△BEH中，sin∠EBH=(EH)/(BE)=(√(2))/(2√(2))=(1)/(2)，
∴∠EBH=30°，
∴∠EBC=∠DBC-∠EBH=45°-30°=15°；

（2）过点E作EG⊥BC，交BC的延长线于点G，
∵BD∥EF，
∴∠ECG=∠DBC=45°，
∴△ECG是等腰直角三角形，
∴EG=CG，
设EG=x，
则BG=BC+CG=2+x，
在Rt△BEG中，BE²=BG²+EG²，
即（2√(2)）²=（2+x）²+x²