求圆周｜z｜＝2在映射w＝1╱z下的象.补充图片

Question

求圆周｜z｜＝2在映射w＝1╱z下的象.
补充图片

Answer 1

令z=x‘+y’i,x‘,y’∈R
∵|z|=2∴x‘²+y’²=4
∴w=z+1/z=x‘+y’i‘+1/(x’+y‘i)
=x’+y‘i+(x’-y‘i)/(x’²+y‘²)
=x’+y‘i+(x’/4-y‘/4*i)
=5x'/4+3y'/4*i
设w=x+yi
∴x=5x'/4,y=3y'/4
∴x'=4x/5,y'=4y/3
代入x‘²+y’²=4得
16x²/25+16y²/9=4
∴4x²/25+4y²/9=1
w对应的点的轨迹为椭圆
焦点为（±2,0）,长半轴为5/2
∴|z|=2对应的象为椭圆,复数方程为
|z+2|+|z-2|=5
直角坐标方程为 4x²/25+4y²/9=1