定义：若平面点集A中的任一点（x0，y0），总存在正实数r，使得集合{(x，y)|(x−x0)2+(y−y0)2＜r}⊆A，则称A为一个开集．给出下列集合：①（x，y）|x2+y2=4；②（x，y）|x+y-2＞0；③（x，y）||x+y|

Question

定义：若平面点集A中的任一点（x₀，y₀），总存在正实数r，使得集合{(x，y)|√((x−x0)2+(y−y0)2)＜r}⊆A，则称A为一个开集．给出下列集合：
①（x，y）|x²+y²=4；
②（x，y）|x+y-2＞0；
③（x，y）||x+y|≤2；
④{(x，y)|0＜x2+(y−√(2))2＜1}．
其中是开集的是（　　）

A．①④
B．②③
C．②④
D．③④

Answer 1

①：A={（x，y）|x²+y²=4}表示以原点为圆心，2为半径的圆，
则在该圆上任意取点（x₀，y₀），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足{(x，y)|√((x−x0)2+(y−y0)2)＜r}⊆A
故①不是开集；
②A={（x，y）|x+y-2＞0}平面点集A中的任一点（x₀，y₀），则该点到直线的距离为d，取r=d，则满足，{(x，y)|√((x−x0)2+(y−y0)2)＜r}⊆A，故该集合是开集；
③A={（x，y）||x+y|≤2}，在曲线x+y|=2任意取点（x₀，y₀），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足{(x，y)|√((x−x0)2+(y−y0)2)＜r}⊆A，故该集合不是开集；
④A={(x，y)|0＜x2+(y−√(2))2＜1}表示以点（0，√(2)）为圆心，1为半径除去圆心和圆周的圆面，在该平面点集A中的任一点（x₀，y₀），则该点到
圆周上的点的最短距离为d，取r=d，则满足，{(x，y)|√((x−x0)2+(y−y0)2)＜r}⊆A，故该集合是开集．
故选C．