若用空间闭区域Ω的边界闭曲面∑（外侧）的曲面积分表示该域的体积V,则V=?如题

Question

若用空间闭区域Ω的边界闭曲面∑（外侧）的曲面积分表示该域的体积V,则V=?
如题

Answer 1

在该闭区域Ω任取一个平行于z轴,底面是dxdy的柱体,则该柱体体积为zdxdy.
不妨设该闭区域始终在一个卦限内.
则可以想象该闭区域可以分为两个部分,其中一部分表面∑1的法向量与z轴正向的夹角总是小于90°,就是这一部分表面∑1法向量总是朝上的；另外一部分表面∑2的法向量和z轴正向的夹角总是大于90°,即这一部分表面∑2法向量总是朝下的.
由第二类曲面积分的定义可知,沿整个∑对z在dxdy上积分可表示为：
∯(∑)zdxdy = ∯(∑1)zdxdy - ∯(∑2)zdxdy
第一个积分∯(∑1)zdxdy就是顶曲面为∑1的曲顶柱体的体积,而第二个积分∯(∑2)zdxdy是顶曲面为∑2的曲顶柱体的体积,且∑1在∑2正上方.
故由∑围成的闭区域Ω的体积为顶曲面为∑1的曲顶柱体体积减去顶曲面为∑2的曲顶柱体体积,就是∯(∑)zdxdy
同理可得V = ∯(∑)xdydz = ∯(∑)ydzdx = ∯(∑)zdxdy
其实还可以用高斯公式考虑：
F是矢量{P,Q,R}
∯(∑)(F·n)d∑ = ∫∫∫(Ω)(∇·F)dΩ
当∇·F = 1时,上式表示的就是Ω的体积
可构造F={0,0,z}使得∇·F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z = 1
则(F·n)d∑ = 0dydz + 0dzdx + zdxdy
左边就是∯(∑)zdxdy,右边是V
同理F={0,y,0}或F={x,0,0}都可以满足∇·F = 1
同样可以得到V = ∯(∑)xdydz = ∯(∑)ydzdx = ∯(∑)zdxdy