为什么要用邻域来定义内点、外点、边界点？书上关于内点的定义是这样的：如果存在点P的某个邻域U(P)，使得U(P)属于点集E，则称P为E的内点。外点和边界点也是类似这样的定义。为什么不

Question

为什么要用邻域来定义内点、外点、边界点？
书上关于内点的定义是这样的：如果 存在点P的某个邻域U(P)，使得U(P)属于点集E，则称P为E的内点。外点和边界点也是类似这样的定义。
为什么不直接定义为在E内的点或者说P属于E呢？

Answer 1

对于封闭的图形，这两种定义是等价的，但是对有些集合，这两种定义是不一样的，例如有理数集Q，取任意有理数r，则r属于Q，所以如果按照你的定义，r是Q的内点，但是注意任意有理数r的任意一个邻域内都含有无理数，即不存在r的邻域U，使得U包含于Q，因此按照正统的定义，r不是Q的内点。