点集是集合而不是函数这句话对不对?我认为是对的,不知大家怎么看?

Question

点集是集合而不是函数这句话对不对?我认为是对的,不知大家怎么看?

Answer 1

晕LS的...
从形式上来说,“点集是集合而不是函数”这句话是大致是对的.函数是二元的数学关系（二元组）,一般它的定义需要借助集合来描述.点集只是元素是点的集合（由点构成的“一元组”）,不是关系,因此不是函数.
但如果把点集作为某个集合的子集考虑,它的元素可以是以坐标形式表示的点（分成自变量和值这两组）,可以当作二元组而成为数学关系,因此又可能符合函数的定义,从而是函数.这时候点的表示形式（坐标——两组数）本身就蕴涵了函数的要素——自变量和值.
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参考资料：
狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）给出的数学分析意义上的函数的正式定义（抄自中文Wiki`pedia）：
从输入值集合X 到可能的输出值集合Y 的函数f（记作 f :X → Y）是X与Y的关系,满足如下条件：
f 是完全的：对集合X 中任一元素x 都有集合Y 中的元素y 满足x f y （x 与y 是f 相关的）.即,对每一个输入值,Y 中都有且只有一个与之对应的输出值.
f 是多对一的：若x f y 且x f z ,则y = z .即,多个输入可以映射到一个输出,但一个输入不能映射到多个输出.
定义域中任一x 在对映域中唯一对应的y 记为f(x).
比上面定义更简明的表述如下：从X 映射到Y 的函数f 是X 与Y 的直积X × Y 的子集.X 中任一x 都与Y 中的y 唯一对应,且有序对(x,y)属于f .
X与Y的关系若满足条件(1),则为多值函数.函数都是多值函数,但多值函数不都是函数.X与Y的关系若满足条件(2),则为偏函数.函数都是偏函数,但偏函数不都是函数.
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k元数学关系的形式定义（资料出处同上）：
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k 元关系在数学上有两种常见的定义.
定义1 在集合 X1、…、Xk 上的关系 L 是指集合的笛卡儿积的子集,写成 L ⊆ X1 × … × Xk.因此,在此定义下,k 元关系简单是个 k 元组.
第二个定义用到数学上一个常见的习惯－说“某某为一 n 元组”即表示此一某某数学物件是由 n 组数学物件的描述来判定的.在于集合 k 上的关系 L中,会有 k+1 件事要描述,即 k 个集合加上一个这些集合笛卡儿积的子集.在此习惯下,L 可以说是一个 k'+1 元组.
定义2 在集合 X1、…、Xk 上的关系 L 是一个 k+1 元组 L = (X1,…,Xk,G(L)) ,其中 G(L) 是笛卡儿积X1 × … × Xk的子集,称之为 L 的“关系图”.
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以上说的函数是映射的同义词.至于中学范围内说的函数,只是指定义域和值域都包含于实数集的一元（单值）函数（顺便忽略了对映域的概念）.