已知数集A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj与ajai两数中至少有一个属于A．（1）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并

Question

已知数集A={a₁，a₂，…，a_n}（1≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a_ia_j与(aj)/(ai)两数中至少有一个属于A．
（1）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；
（2）求a₁的值；当n=3时，数列a₁，a₂，a₃是否成等比数列，试说明理由；
（3）由（2）及通过对A的探究，试写出关于数列a₁，a₂，…，a_n的一个真命题，并加以证明．

Answer 1

（1）由于3×4 与(4)/(3) 均不属于数集{1，3，4}，∴数集{1，3，4} 不具有性质P …2分
由于1×2，1×3，1×6，2×3，(6)/(2)，(6)/(3)，(1)/(1) ， (2)/(2) ， (3)/(3) ， (6)/(6) 都属于数集{1，2，3，6}，
∴数集{1，2，3，6} 具有性质P…4分
（2）∵A={a₁，a₂，…，a_n} 具有性质P，
∴a_na_n 与(an)/(an) 中至少有一个属于A，由于 1≤a₁＜a₂＜…a_n，故a_na_n∉A …5分
从而1＝(an)/(an)∈A …6分∴a₁=1 …7分
当n=3 时，∵(a3)/(a1)＞ (a3)/(a2)＞ (a3)/(a3)，a₁=1，a₂a₃∉A，∴(a3)/(a1) ，  (a3)/(a2)，  (a3)/(a3) 都属于A …8分
从而(a3)/(a1)＝a3，(a3)/(a2)＝a2，(a3)/(a3)＝a1，即a₃=a₁a₃=a₂²，…9分
故数列a₁，a₂，a₃ 成等比数列…10分
（3）对于一切大于或等于3的奇数n，满足性质P 的数列a₁，a₂，…，a_n 成等比数列． …12分
证明：由（2），不妨设n=2k+1（k∈N，k≥2）．首先易得a_2k+1a_i∉A（i=1，…2k），知

作业帮用户 2017-11-13

问题解析

（1）根据性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a_ia_j与

(aj)/(ai)两数中至少有一个属于A，验证给的集合集{1，3，4}与{1，2，3，6}中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素；
（2）根据A={a₁，a₂，…，a_n} 具有性质P，则a_na_n 与(an)/(an) 中至少有一个属于A，由于 1≤a₁＜a₂＜…a_n，故a_na_n∉A 从而1＝(an)/(an)∈A 求出a₁的值，易证(a3)/(a1) ，  (a3)/(a2)，  (a3)/(a3) 都属于A，从而(a3)/(a1)＝a3，(a3)/(a2)＝a2，(a3)/(a3)＝a1，即a₃=a₁a₃=a₂²，满足等比数列的定义；
（3）对于一切大于或等于3的奇数n，满足性质P 的数列a₁，a₂，…，a_n 成等比数列，由（2），不妨设n=2k+1（k∈N，k≥2）．首先易得a_2k+1a_i∉A（i=1，…2k），仿照（2）的方法进行证明即可．

名师点评

本题考点：

数列的应用；元素与集合关系的判断；归纳推理．

考点点评：

本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属于较难层次题．

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