有理数集可以和数轴上的整数点建立一一对应

Question

有理数集可以和数轴上的整数点建立一一对应

Answer 1

对!一句话,有理数集,是可数集.
你可以这么排,就能穷尽所有的有理数!
0,1/1,-1/1,2/1,-2/1,1/2,-1/2,3/1,-3/1,3/2,-3/2,1/3,-1/3,2/3,-2/3,4/1,-4/1,4/3,-4/3,1/4,-1/4,3/4,-3/4,5/1,-5/1,……
整数集与有理数集都是可数集.按照基数概念,能一一对应的两个集合的基数相同,于是有理数集、整数集、全体正偶数集等与自然数集有相同的基数.在这个意义上说,这些集合所含元素是“一样多”,但这些集合又是一个包含另一个作为真子集,所以又不同于有限集元素的“多少”概念.值得注意的是,并非所有的无穷集都是可数集,因为G.康托尔证明了实数集不是可数集,这样,实数集与自然数集有不同的基数,因而说明了无穷集所含元素数量的多少还有某种层次区别.