给定集合A,R是A上的关系,对于所有的a,b,c属于A.如果aRb,bRc,则一定有cRa,则称R是A上的循环关系.试证明当且仅当R是一个等价关系,R才是自反和循环的.

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给定集合A,R是A上的关系,对于所有的a,b,c属于A.如果aRb,bRc,则一定有cRa,则称R是A上的循环关系.
试证明当且仅当R是一个等价关系,R才是自反和循环的.

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答案和解析

证明：因为R是循环的、自反的.所以,对于所有的a,b属于A.如果aRb,由自反性bRb,由循环性：有bRa.R是对称的,对于所有的a,b,c属于A.如果aRb,bRc,由循环性：则一定有cRa,由对称性：aRc,所以R是传递的,所以R是等价关系.
反之,R是等价关系,则R是自反的,对于所有的a,b,c属于A.如果aRb,bRc,由传递性：aRc,由对称性：cRa,所以R是循环的.

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