定义双曲正弦函数y=sinhx=12（ex-e-x），双曲余弦函数y=coshx=12（ex+e-x）．（1）各写出四条双曲正弦函数和双曲余弦函数的性质．（定义域除外）（2）给出双曲正切函数、双曲余切函数、双曲

Question

定义双曲正弦函数y=sin hx=(1)/(2)（e^x-e^-x），双曲余弦函数y=cos hx=(1)/(2)（e^x+e^-x）．
（1）各写出四条双曲正弦函数和双曲余弦函数的性质．（定义域除外）
（2）给出双曲正切函数、双曲余切函数、双曲正割函数和双曲余割函数的定义式，探究并证明六者间的平方关系．
（3）模仿三角函数中两角的和与差关系，探究并证明双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数的“两角”和与差关系．

Answer 1

（1）sin hx=(1)/(2)（e^x-e^-x）  奇函数，单调递增，无周期性，值域为R．
cos hx=(1)/(2)（e^x+e^-x） 偶函数，R上无单调，无周期性，值域为[1，+∞）．
（2）tan hx=(sinhx)/(coshx)；cot hx=(coshx)/(sinhx)；sec hx=(1)/(coshx)；csc hx=(1)/(sinhx)．
cos h²（x）-sin h²（x）=1；cot h²（x）-csc h²（x）=1；tan h²（x）+sec h²（x）=1．
（3）sin h（x+y）=sin h（x）•cos h（y）+cos h（x）•sin h（y），
sin h（x-y）=sin h（x）•cos h（y）-cos h（x）•sin h（y），
cos h（x+y）=cos h（x）•cos h（y）+sin h（x）•sin h（y），
cos h（x-y）=cos h（x）•cos h（y）-sin h（x）•sin h（y），
tan h（x+y）=(tanh(x)+tanh(y))/(1+tanh(x)•tanh(y))；tan h（x-y）=(tanh(x)−tanh(y))/(1−tanh(x)•tanh(y))．