两角和与差的正切求证:A+B+C=nπ(n属于Z)的充要条件是tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

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两角和与差的正切
求证:A+B+C=nπ(n属于Z)的充要条件是tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

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答案和解析

a+b+c=nπ,n∈Z(表示n是整数).
0=tan(nπ)=tan(a+b+c)
=[tan(a+b)+tanc]/[1-tan(a+b)tanc]
=[(tana+tanb)/(1-tanatanb)+tanc]/[1-tanc(tana+tanb)/(1-tanatanb)]
=[tana+tanb+tanc-tanatanbtabc]/[1-tanatanb-tanbtanc-tanctana],
tana+tanb+tanc-tanatanbtanc=0,
tana+tanb+tanc=tanatanbtanc.

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