设两点在抛物线上，是的垂直平分线，（1）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点？证明你的结论；（2）当直线的斜率为时，求在轴上的截距的取值范围。

Question

设 两点在抛物线 上， 是 的垂直平分线，（1）当且仅当 取何值时，直线 经过抛物线的焦点 ？证明你的结论；（2）当直线 的斜率为 时，求 在 轴上的截距的取值范围。

Answer 1

设 两点在抛物线 上， 是 的垂直平分线，（1）当且仅当 取何值时，直线 经过抛物线的焦点 ？证明你的结论；（2）当直线 的斜率为 时，求 在 轴上的截距的取值范围。

⑴当且仅当 时， 经过抛物线的焦点
⑵ 在 轴上截距的取值范围为

（Ⅰ） 两点到抛物线的准线的距离相等，
∵抛物线的准线是 轴的平行线， ，依题意 不同时为0
∴上述条件等价于
∵
∴上述条件等价于
即当且仅当 时， 经过抛物线的焦点 。
（Ⅱ）设 在 轴上的截距为 ，依题意得 的方程为 ；过点 的直线方程可写为 ，所以 满足方程
得
为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式 ，即
设 的中点 的坐标为 ，则
，
由 ，得 ，于是
即得 在 轴上截距的取值范围为