二次函数f(x)满足f(x-1)+2x+1=f(x),且该函数在y轴上截距为-3,求f(x）解析式若方程f（x）-m=0在x∈[0,2]上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围

Question

二次函数f(x)满足f(x-1)+2x+1=f(x),且该函数在y轴上截距为-3,求f(x）解析式
若方程f（x）-m=0在x∈[0,2]上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围

Answer 1

解析：
（1）由题意可设解析式：f(x)=ax²+bx-3,其中a≠0
那么：f(x-1)=a(x-1)²+b(x-1)-3
因为：f(x-1)+2x+1=f(x),所以：
a(x-1)²+b(x-1)-3+2x+1=ax²+bx-3
即：-2ax+a-b-2+2x=-3
(-2a+2)x+a-b+1=0
要使上式对于任意实数x都成立,须使得：
-2a+2=0且a-b+1=0
解得：a=1,b=2
所以：解析式f(x)=x²+2x-3
（2）由（1）方程f(x)-m=0可化为：x²+2x-3-m=0
若该方程在x∈[0,2]上有两个不相等的实数根,那么：
{ Δ=4-4(-3-m)>0
{ -3-m≥0
{ 4+4-3-m≥0
解得：
{ m>-4
{ m≤-3
{ m≤5
所以实数m的取值范围为(-4,-3]