已知数列{an}的首项a1=1，且满足an+1=an4an+1(n∈N*)．（Ⅰ）设bn=1an，求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设cn=bn•2n，求数列{cn}的前n项和Sn．

Question

已知数列{a_n}的首项a₁=1，且满足a_n+1=(an)/(4an+1)(n∈N*)．
（Ⅰ）设b_n=(1)/(an)，求证：数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=b_n•2ⁿ，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（Ⅰ）∵an+1＝(an)/(4an+1)，∴(1)/(an+1)＝4+(1)/(an)，即(1)/(an+1)−(1)/(an)＝4，∴b_n+1-b_n=4．
∴数列{b_n}是以1为首项，4为公差的等差数列．∴(1)/(an)＝bn＝1+4(n−1)=4n-3，
∴数列{a_n}的通项公式为an＝(1)/(4n−3)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cn＝bn•2n=（4n-3）2ⁿ，
∴Sn＝1×21+5×22+9×23+…+(4n−3)•2n…①
同乘以2得，2Sn＝1×22+5×23+9×24+…+(4n−3)•2n+1…②
②-①得，−Sn＝2−(4n−3)2n+1+4×(22+23+24+…+2n)
=2−(4n−3)2n+1+(4×22×(1−2n−1))/(1−2)=2-（4n-3）2ⁿ⁺¹+16×2^n-1-16
=-14+2ⁿ⁺¹×（4-4n+3）=-14+（7-4n）2ⁿ⁺¹
∴数列{c_n}的前n项和Sn＝(4n−7)•2n+1+14