已知x+y+z=6,x^2+y^2+z^2=18,其中x,y,z为实数,求证：x,y,z均不为大于4的非负整数

Question

已知x+y+z=6,x^2+y^2+z^2=18,其中x,y,z为实数,求证：x,y,z均不为大于4的非负整数

Answer 1

肯定用反正
应该这样,求证： x,y,z均为不大于4的非负实数
先正x,y,z均为大于4的非负实数
假设x,y,z至少有一个大于4,不妨设z>4
x+y=6-z
x^2+y^2=1/2(x^2+y^2)+1/2(x^2+y^2)≥1/2(x^2+y^2)+xy=(x+y)²/2
x^2+y^2+z^2≥(x+y)²/2+z¹=(6-z)²/2+z²=18+3z²/2-6z=18+3z/2(z-4)>18
与x^2+y^2+z^2=18矛盾
假设不成立
x,y,z均不为大于4的实数
再证x,y,z均为非负实数
假设x,y,z至少有一个小于0,不妨设z>0
同样x^2+y^2+z^2≥(x+y)²/2+z¹=(6-z)²/2+z²=18+3z²/2-6z=18+3z/2(3z-4)>18
假设不成立
x,y,z均不为小于4的实数
∴x,y,z均为不大于4的非负实数