已知函数f（x）=lnx，g（x）=12x2-bx（b为常数），若b＞1对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|＞|g（x1）-g（x2）|成立，则实数b的取值范围是[32，2][32，2]．

Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=(1)/(2)x²-bx（b为常数），若b＞1对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|成立，则实数b的取值范围是

[(3)/(2)，2]

[(3)/(2)，2]

．

Answer 1

对于区间[1，2]上的任意实数x，f′（x）=(1)/(x)∈[(1)/(2)，1]．
g′（x）=x-b∈[1-b，2-b]，
要使得对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|成立，
若用注意到f（x）是增函数，不妨设x₁＞x₂，则f（x₁）＞f（x₂），问题转化为|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|
等价于-f（x₁）+f（x₂）＜g（x₁）-g（x₂）＜f（x₁）-f（x₂）从而f（x₁）-g（x₁）＞f（x₂）-g（x₂）且f（x₁）+g（x₁）＞f（x₂）+g（x₂），
即f（x）-g（x）与f（x）+g（x）都是增函数，
利用导数的几何意义是切线的斜率，得到|f′（x）|＞|g′（x）|，
即(1)/(x)＞|b-x|，于是x-(1)/(x)≤b≤x+(1)/(x)即（x-(1)/(x)）_max≤b≤（x+(1)/(x)）_min
∴(3)/(2)≤b≤2．
则b的取值范围[(3)/(2)，2]．
故答案为：[(3)/(2)，2]．