设m∈R，不等式mx2-（3m+1）x+2（m+1）>0的解集记为集合P．（I）若P=（x|-1<x<2），求m的值；（Ⅱ）当m>0时，求集合P；（Ⅲ）若{x|-3<x<2}⊆P，求m的取值范围．

Question

设m∈R，不等式mx²-（3m+1）x+2（m+1）>0的解集记为集合P．
（I）若P=（x|-1<x<2），求m的值；
（Ⅱ）当m>0时，求集合P；
（Ⅲ）若{x|-3<x<2}⊆P，求m的取值范围．

Answer 1

（I）因为P={x|-1所以方程mx²-（3m+1）x+2（m+1）=0的两根为-1和2．
将x=-1代入上述方程，得m（-1）²-（3m+1）（-1）+2（m+1）=0，
解得m=-(1)/(2)．
（II）不等式mx²-（3x+1）x+2（2m+1）>0可化为（x-2）[mx-（m+1）]>0．
当m>0时，方程m（-1）²-（3m+1）（-1）+2（m+1）=0的两根为(m+1)/(2)和2．
①当(m+1)/(m)=2，即m=1时，解得x≠2．
②当(m+1)/(m)>2，即0<m<1时，解得x<2或x>(m+1)/(m)．
③当(m+1)/(m)<2，即m>1时，解得x<(m+1)/(m)或x>2．
综上，当0<m<1时，P={x|x<2或x>(m+1)/(m)}；当m=1时，P={x|x∈R，且x≠2}；当m>1时，P={x|x<(m+1)/(m)或x>2}．
（III）依题意，当x∈（-3，2）时，不等式mx²-（3m+1）x+2（m+1）>0恒成立．
当m=0时，原不等式化为-x+2>0，即P={x|x<2}，适合题意．
当m>0时，由（II）可得0<m≤1时，适合题意．
当m<0时，因为(m+1)/(m)=1+(1)/(m)<2，所以P={x|(m+1)/(m)<x<2}．
此时必有(m+1)/(m)≤-3成立，解得-(1)/(4)≤m<0．
综上，若{x|-3<x<2}⊆P，则m的取值范围是[-(1)/(4)，1]．