对边和相等的四边形一定有内切圆,为什...

Question

对边和相等的四边形一定有内切圆,为什...

Answer 1

正确.证明如下：
充分性.
设四边形ABCD,AB CD=BC AD,
作A和B的平分线交于O,〈C和〈D平分线交于O’,作OE⊥AD,OF⊥AB,OG⊥BC,O’G’⊥BC,O’H⊥CD,O’E’⊥AD,连结OA,OB,
∵OA平分〈A,OB平分〈B,
∵△OEA≌△OFA,AF=AE,同理BF=BG,AE BG=AF BF=AB,
∵而已知AD BC=AB CD,
AE ED BG CG=AF BF CD,
∴ED CG=CD,
同理,∵△O'E'D≌△O'HD,
∴DE'=DH,
∵△O'EG'C≌△O'HC,
∴CG'=CH,
∴CG' DE'=DH CH=CD,
而DE CG=CD,
∴CG' DE'=DE CG,
G与G',E与E'重合,
因过一点只能作一条垂线,
故O与O'也重合,
O点距四边距离相等,
是内切圆圆心,
∴对边和相等的四边形一定有内切圆.
若反过来,必要性,
E、F、G、H是切点,
则AE=AF,BF=BG,CG=CH,DH=DE,
∴AB CD=AD BC.