已知函数（为常数，是自然对数的底数）是实数集上的奇函数．（1）求的值；（2）试讨论函数的零点的个数．

Question

已知函数 （ 为常数， 是自然对数的底数）是实数集 上的奇函数．
（1）求 的值；
（2）试讨论函数 的零点的个数．

Answer 1

已知函数 （ 为常数， 是自然对数的底数）是实数集 上的奇函数．
（1）求 的值；
（2）试讨论函数 的零点的个数．

（1）a=0
(2) ①当 时，方程无解．函数 没有零点；
②当 时，方程有一个根．函数 有1个零点
③当 时，方程有两个根．函数 有2个零点

试题分析：（1） 是奇函数，则 恒成立．
∴  即
∴                              -4分
（2）由（1）知
∴讨论函数 的零点的个数,即讨论方程 根的个数.                                            6分
令 ， ，
当 上为增函数；
当 上为减函数，
∴当 时，  
而 ，           8分
、 在同一坐标系的大致图象如图所示，

∴①当 时，方程无解．函数 没有零点；           10分
②当 时，方程有一个根．函数 有1个零点    11分
③当 时，方程有两个根．函数 有2个零点    12分
点评：解决的关键是根据函数奇偶性以及函数零点的概念来求解运用，属于基础题。