自然数的底数e是如何求出的?有何意义?（初等数学学习者)

Question

自然数的底数e是如何求出的?有何意义?（初等数学学习者)

Answer 1

e=1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+.
我只能解释其在数学中非常有用,比如在高等数学中有
(e^x)'=e^x('表示求导数,^表示乘方）,是唯一一个（不算乘以任意常数）导数等于自身的函数
(lnx)'=1/x
lim(n->无穷)(1+1/n)^n=e
e^(ia)=cosa+isina(i是虚数单位）
...
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其中第2个式子说明它为什么叫自然对数的底.下面我解释一下(这个严格说是高数部分内容,我尽量用中学语言写出来,肯定不属于中学要求,你可以不看）
考虑曲线y=1/x
则固定一点A(1,1),另一点B取(x0,1/x0)
先假设x0>1
记函数F(x0)=A,B两点间曲线y与x=1,x=x0及x轴围成的图形的面积（后面简称为AB间曲线下方的面积,其实就是最简单的定积分概念）
考虑另外一点C（ax0,1/ax0)（先假设a>1)以及D（a,1/a)
则可证明BC间的曲线下方的面积=F(a)及AD间曲线下方的面积（微元法,将AD和BC同时等分成n小分,然后用n个矩形的面积和逼近曲线下方的面积,这样两种情况下对应的每一个矩形长差了a倍,高却差了1/a,因此面积对应相等,因此最后总面积也相等）
于是F(ax0)=AC两点间曲线下方的面积＝AB两点间曲线下方的面积＋BC两点间曲线下方的面积＝AB两点间曲线下方的面积＋AD两点间曲线下方的面积=F(x0)+F(a)
然后令00,F(xy)=F(x)+F(y)
因此F(x)具有对数函数的形式,而这个对数函数的底,就是e,因此e被称为自然对数的底.
因此F(e)=1,这样就找到一个很简单的e的定义：
曲线y=1/x,在[1,e]区间曲线下方的面积为1