对于任意的11个整数,证明其中一定有6个数,它们的和能被6整数.知道的支一声!

Question

对于任意的11个整数,证明其中一定有6个数,它们的和能被6整数.
知道的支一声!

Answer 1

证明：设这11个整数为：a1,a2,a3……a11
∵6=2×3
①先考虑被3整除的情形
由例2知,在11个任意整数中,必存在：
3|a1+a2+a3
不妨设a1+a2+a3=b1；
同理,剩下的8个任意整数中,由例2,必存在：3 | a4+a5+a6.
不妨设a4+a5+a6=b2；
同理,其余的5个任意整数中,
有：3|a7+a8+a9
设：a7+a8+a9=b3
②再考虑b1、b2、b3被2整除.
依据抽屉原理,b1、b2、b3这三个整数中,至少有两个是同奇或同偶,这两个同奇（或同偶）的整数之和必为偶数.不妨设2|b1+b2
则：6|b1+b2
即：6|a1+a2+a3+a4+a5+a6
∴任意11个整数,其中必有6个数的和是6的倍数.