求最小的自然数n，使得n恰有144个正约数，而且n的正约数中，有10个连续整数．

Question

求最小的自然数n，使得n恰有144个正约数，而且n的正约数中，有10个连续整数．

Answer 1

有10个连续的非零连续自然数的约数，如10个连续整数为1-10的话，
则这个数分解质因数后肯定至少含有5个2，至少含有3个3，至少含有2个5，至少含有1个7．
先把它表示成2⁵×3³×5²×7×x，后面的x表示含有的其他项．
由于2⁵×3³×5²×7中已经含有了多少约数，
只含有因子2的约数有5个，即2，4，8，16，32，
只含有3的约数有3个，只含有5的约数有2个，只含有7的约数有1个，共有11个；
含有2，3，5，7中的两项的约数，含有2，3的有5×3=15个，
含有2，5的有5×2=10个，含有2，7的有5×1=5个，
含有3，5的有3×2=6个，含有3，7的有3×1=3个，
含有5，7的有2×1=2个，共有15+10+5+6+3+2=41个；
含有2，3，5，7中三个因数的约数，含有2，3，5的有5×3×2=30个，
含有2，3，7的有5×3×1=15个，
含有2，5，7的有5×2×1=10个，
含有3，5，7的有3×2×1=6个，
共有30+15+10+6=61个；
最含有2，3，5，7种四个因数的约数，共有5×3×2×1=30个．
那么所有这些约数加起来是11+41+61+30=+143个，
这个数肯定有约数1，那么加在一起就是1+143=144个，
所以这个数字就是2⁵×3³×5²×7=151200，
它的10个相邻的约数是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．
即个自然数n是151200．