如果p是素数,并且p≡3(mod4),那么[(p-1)/2]!≡±1(modp),

Question

如果p是素数,并且p≡3(mod 4),那么[(p-1)/2]!≡±1(mod p),

Answer 1

Wilson定理说的是
(p-1)!≡-1(mod p)
而±1,±2,...,±(p-1)/2也是模p的完全剩余系,故它们乘起来同余于(p-1)!
故
(-1)^[(p-1)/2)]*[(p-1)/2]!≡-1(mod p)
而p≡3(mod 4),所以(-1)^[(p-1)/2)]=-1
故
[(p-1)/2]!≡1(mod p)