如图，AB是O的直径，C是半圆的中点，连接CA，E是弦CD上一点，CE=CA，连接AD．（1）求证：AE平分∠BAD；（2）连接OE，若AB=10，AD=6，求OE的长．

Question

如图，AB是 O的直径，C是半圆的中点，连接CA，E是弦CD上一点，CE=CA，连接AD．

（1）求证：AE平分∠BAD；
（2）连接OE，若AB=10，AD=6，求OE的长．

Answer 1

（1）证明：∵C是半圆的中点，
∴

AC

=

BC

，
∴∠ADC=∠BAC，
∵CE=CA，
∴∠CAE=∠CEA，又∠CEA=∠ADC+∠EAD，
∴∠BAE=∠DAE，即AE平分∠BAD；
（2） 连接BD，作EF⊥BD于D，OG⊥BD于G，EH⊥OG于H，
由勾股定理得，BD=√(AB2-AD2)=8，
∵C是半圆的中点，
∴DC平分∠ADB，又AE平分∠BAD，
∴E是△ADB的内心，
∴EF=(6+8-10)/(2)=2，
∵∠CDB=45°，
∴DF=EF=2，
∵OG⊥BD，
∴DG=(1)/(2)BD=4，
∴FG=2，
∴EH=FG=2，
∵OG是△BAD的中位线，
∴OG=(1)/(2)AD=3，
∴OH=1，
∴OE=√(EH2+OH2)=√(5)．