在△ABC中，E，F分别是AC，AB的中点，且3AB=2AC，若BECF＜t恒成立，则t的最小值为（）A．34B．78C．1D．54

Question

在△ABC中，E，F分别是AC，AB的中点，且3AB=2AC，若(BE)/(CF)＜t恒成立，则t的最小值为（　　）

A．(3)/(4)
B．(7)/(8)
C．1
D．(5)/(4)

Answer 1

根据题意画出图形，如图所示：

∵3AB=2AC，
∴AC=(3)/(2)AB，
又E、F分别为AC、AB的中点，∴AE=(1)/(2)AC，AF=(1)/(2)AB，
∴在△ABE中，由余弦定理得：BE²=AB²+AE²-2AB•AE•cosA
=AB²+（(3)/(4)AB）²-2AB•(3)/(4)AB•cosA=(25)/(16)AB²-(3)/(2)AB²cosA，
在△ACF中，由余弦定理得：CF²=AF²+AC²-2AF•AC•cosA
=（(1)/(2)AB）²+（(3)/(2)AB）²-2•(1)/(2)AB•(3)/(2)AB•cosA=(5)/(2)AB²-(3)/(2)AB²cosA，
∴(BE2)/(CF2)=((25)/(16)AB2−(3)/(2)AB2cosA)/((5)/(2)AB2−(3)/(2)AB2cosA)=((25)/(16)−(3)/(2)cosA)/((5)/(2)−(3)/(2)cosA)，
∴(BE)/(CF)=√(((25)/(16)−(3)/(2)cosA)/((5)/(2)−(3)/(2)cosA))=√(1−(15)/(40−24cosA))，
∵当cosA取最小值时，(BE)/(CF)比值最大，
∴当A→π时，cosA→-1，此时(BE)/(CF)达到最大值，最大值为√(1−(15)/(40+24))=(7)/(8)，
则(BE)/(CF)＜t恒成立，t的最小值为(7)/(8)．
故选B