如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，求证：（1）AC1⊥BD；（2）AC1∥平面BDE．

Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是CC₁的中点，求证：

（1）AC₁⊥BD；
（2）AC₁∥平面BDE．

Answer 1

证明：（1）AA₁⊥平面ABCD，∴AA₁⊥BD，
又∵AC⊥BD，AA₁F∩AC=A，∴DB⊥面AA₁BC₁C，
又因为AC₁⊂面AA₁BC₁C，∴AC₁⊥BD
（2）如图连结AC交BD与O，连结OE，
因为O、E分别是AC、CC₁的中点，
∴OE∥AC₁，
又因为OE⊂平面BDE，AC₁⊄平面BDE．
∴AC₁∥平面BDE