如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC=2a，∠A=60°，E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使A′C=2a，F为线段A′C的中点．（Ⅰ）求证：BF∥平面A′DE；（Ⅱ）求证：平面A′DE⊥平面ABCD

Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC=2a，∠A=60°，E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使A′C=2a，F为线段A′C的中点．
（Ⅰ）求证：BF∥平面A′DE；
（Ⅱ）求证：平面A′DE⊥平面ABCD．

Answer 1

（Ⅰ）　取A′D的中点G，连接GF，GE，由条件易知：FG∥CD，FG=(1)/(2)CD，BE∥CD，BE=(1)/(2) CD．
∴FG∥BE，FG=BE．∴四边形BEGF为平行四边形，∴BF∥EG，又BF⊄平面A′DE内，∴BF∥平面A′DE．
（Ⅱ）在平行四边形ABCD中，AB=2BC=2a，AE=EB=EA′=AD=DA′=a，取DE中点H，连接AH、CH，
∴A′H⊥DE，∵∠A=∠A′=60°，∴AH=A′H=(√(3))/(2)a，DH=(a)/(2)．
在△CHD中，CH²=DH²+DC²-2DH×DCcos60°=（(a)/(2)）²+（2a）²-2×(a)/(2)×2a×(1)/(2)=(13)/(4)a²．
在△CHA′中，∵CH²+A′H²=(13)/(4)a²+（(√(3))/(2)a）²=4a²=A′C²，∴A′H⊥HC，
又∵HC∩DE=H，∴A′H⊥面ABCD．   又∵A′H⊂平面A′DE，∴平面A′DE⊥平面ABCD．