在RT三角形ABC中,∠C=90度,AB=5,AC=3,点D是BC的中点,点E是边AB上的动点DF⊥DE,交射线AC于点F（1）当EF‖BC时,求BE的长（2）联结EF,当三角形DEF和三角形ABC相似时,

Question

在RT三角形ABC中,∠C=90度,AB=5,AC=3,点D是BC的中点,点E是边AB上的动点 DF⊥DE,交射线AC于点F
（1）当EF‖BC时,求BE的长
（2）联结EF,当三角形DEF和三角形ABC相似时,

Answer 1

（1）过点E作EH⊥BC,垂足为H．
易得△EHB∽△ACB
设EH=CF=3k,BH=4k,BE=5k；
∵EF∥BC∴∠EFD=∠FDC
∵∠FDE=∠C=90°
∴△EFD∽△FDC
∴EF /FD   =FD  /CD   ∴FD²=EF•CD,
即9k2+4=2（4-4k）
化简,得9k²+8k-4=0
解得k=(-4±2√13)/ 9 （负值舍去）,
∴BE=5k=(10√13-20)/9
（2）过点E作EH⊥BC,垂足为H．
易得△EHB∽△ACB
设EH=3k,BE=5k
∵∠HED+∠HDE=90°∠FDC+∠HDE=90°
∴∠HED=∠FDC
∵∠EHD=∠C=90°
∴△EHD∽△DCF
∴EH /CD   =DE /DF   ,
当△DEF和△ABC相似时,
有两种情况：
①DE/DF =AC /BC =3 /4   ,
∴EH /CD =3/4  ,即3k/2 =3/4  
解得k=1/2   ,
∴BE=5k=5 /2  
②DE /DF =BC /AC=4 /3  ,
∴EH/CD  =4/3  ,即3k/2=4/3  
解得k=8/9   ,
∴BE=5k=40/9  
综合①、②,当△DEF和△ABC相似时,BE的长为5/2 或40/9