（1）小王同学为了测量积雪的密度，设计了“根据雪地上的脚印深度进行估测”的方法．他采用的方法是：利用一块平整地面上的积雪，用脚竖直向下踩在雪上，形成一个向下凹的脚印．然

Question

（1）小王同学为了测量积雪的密度，设计了“根据雪地上的脚印深度进行估测”的方法．他采用的方法是：利用一块平整地面上的积雪，用脚竖直向下踩在雪上，形成一个向下凹的脚印．然后通过测量积雪原来的厚度H，用脚踩后在雪上形成脚印的深度h，就可以估测雪的密度．请通过推导得出雪的密度的计算表达式．
（2）大雪过后，会造成路面积雪和积冰，危及交通安全．为了尽快消除路面积冰，可以通过撒盐和铺设防滑物以及组织扫雪等措施．下表反映的是盐的浓度与凝固温度之间的关系，利用这一表格，请你估计当桥面上积冰的厚度达到2cm，环境温度为-3℃时，撒盐车应在每平方米的冰面上撒多少盐才能去除桥面上的积冰？

盐的浓度（%）	0	5	10	15	20
凝固温度（℃）	0	-3	-7.5	-12	-17

（3）雪地车在松软的雪地上行驶时，所受阻力主要源于履带或车轮与雪层的挤压．某型号的履带式雪地车的每根履带宽为d，空载时与雪地接触的压强为p₀．
（a）当雪地车以速度v在雪地上匀速行驶时，在雪层上造成的雪沟深度为h．试估算此时雪地车克服雪层阻力做功的功率P．
（b）假设雪地车挤压雪层形成的雪沟深度与压强成正比．当雪地车所载货物的重力为雪地车空载时自重的1/4，则仍以功率P在雪地上匀速行驶时的速度为多大？

Answer 1

（1）雪被踩后成为冰，密度是0.9g/cm³
设脚印的面积为S，则
雪的体积V_雪=SH，冰的体积V_冰=S（H-h）
根据密度公式ρ=(m)/(V) 得
(ρ雪)/(ρ冰)=(V冰)/(V雪)=(H−h)/(H)
∴ρ_雪=(ρ冰(H−h))/(H)
（2）由表格知：-3℃时应撒盐的浓度为5%，
1m³的积水质量为0.02m×1m²=0.02m³20m³×10³kg/m³=20kg，
设撒盐质量m，
根据题意得(m)/(20kg+m)=5%，
解得m=1.05kg，
所以撒盐的质量为1.05kg；
（3）
（a）设雪地车在雪地行驶的时间为t
则t时间内前进的距离L=vt
压下雪的面积S=L2d=2vtd
压力做功W=Fh=pSh=p₀×2vtd×h=2p₀vtdh
∴功率P=(W)/(t)=(2P0vtdh)/(t)=2p₀vdh
（b）已知重力增加(1)/(4)，所以雪地车对雪地的压强增大(1)/(4)，
雪地车克服雪地阻力的功率一定
设此时雪地车行驶的速度为v′
根据题意得 2p₀vdh=2（p₀+(P0)/(4)）v'(5)/(4)h
解得v'=(16v)/(25)．
答：
（1）雪的密度表达式为ρ_雪=(ρ冰(H−h))/(H)；
（2）每平方米需撒盐1kg；
（3）（a）雪地车克服阻力的功率为2dp₀hv；
（b）雪地车仍以功率P在雪地上匀速行驶时的速度为(16v)/(25)．