设f（x）为定义在区间I上的函数．若对I上任意两点x1，x2（x1≠x2）和实数λ∈（0，1），总有f（λx1+（1-λ）x2）＜λf（x1）+（1-λ）f（x2），则称f（x）为I上的严格下凸函数．若f（x）为I上的

Question

设f（x）为定义在区间I上的函数．若对I上任意两点x₁，x₂（x₁≠x₂）和实数λ∈（0，1），总有f（λx₁+（1-λ）x₂）＜λf（x₁）+（1-λ）f（x₂），则称f（x）为I上的严格下凸函数．若f（x）为I上的严格下凸函数，其充要条件为：对任意x∈I有f″（x）＞0成立（f″（x）是函数f（x）导函数的导函数），则以下结论正确的有______．
①f（x）=(2x+2014)/(3x+7)，x∈[0，2014]是严格下凸函数．
②设x₁，x₂∈（0，(π)/(2)）且x₁≠x₂，则有tan（(x1+x2)/(2)）＞(1)/(2)（tanx₁+tanx₂）
③若f（x）是区间I上的严格下凸函数，对任意x₀∈I，则都有f（x）＞f′（x₀）（x-x₀）+f（x₀）
④f（x）=(1)/(6)x3+sinx，（x∈（(π)/(6)，(π)/(3)））是严格下凸函数．

Answer 1

①因为f（x）=(2x+2014)/(3x+7)=((2)/(3)(3x+7)+2014−(14)/(3))/(3x+7)＝(2)/(3)+(6028)/(9x+21)，所以f'（x）=−(6028×9)/((9x+21)2)＝−(6028)/((3x+7)2)，
所以f^∥（x）=(2×3×6028)/((3x+7)3)，当x∈[0，2014]时，f^∥（x）＞0恒成立，所以①正确．
②若x1＝(π)/(3)，x2＝(π)/(6)，则(1)/(2)(tanx1+tanx2)＝(1)/(2)(tan(π)/(3)+tan(π)/(6))＝(1)/(2)((√(3))/(3)+√(3))＝(2√(3))/(3)，而(1)/(2)(tan⁡(x1+x2)/(2)＝tan⁡((π)/(3)+(π)/(6))/(2))＝tan⁡

作业帮用户 2016-11-21

问题解析

根据严格下凸函数的充要条件，求f^∥（x）＞0恒成立即可．

名师点评

本题考点：

命题的真假判断与应用．

考点点评：

本题主要考查新定义的应用，考查学生的运算能力，综合性较强．正确理解新定义是解决本题的关键．

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