定义：设函数f（x）在（a，b）内可导，若f′（x）为（a，b）内的增函数，则称f（x）为（a，b）内的下凸函数．（Ⅰ）已知f（x）=ex-ax3+x在（0，+∞）内为下凸函数，试求实数a的取

Question

定义：设函数f（x）在（a，b）内可导，若f′（x）为（a，b）内的增函数，则称f（x）为（a，b）内的下凸函数．
（Ⅰ）已知f（x）=e ^x -ax ³ +x在（0，+∞）内为下凸函数，试求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设f（x）为（a，b）内的下凸函数，求证：对于任意正数λ ₁ ，λ ₂ ，λ ₁ +λ ₂ =1，
不等式f（λ ₁ x ₁ +λ ₂ x ₂ ）≤λ ₁ f（x ₁ ）+λ ₂ f（x ₂ ）对于任意的x ₁ ，x ₂ ∈（a，b）恒成立．

Answer 1

（I）f（x）=e ^x -ax ³ +x在（0，+∞）内为下凸函数等价于x∈（0，+∞）时，f′（x）=e ^x -3ax ² +1为增函数；
所以x∈（0，+∞）时，[f′（x）] ^′ =e ^x -6ax≥0恒成立，即 a≤(ex)/(6x) 恒成立
设 g(x)=(ex)/(6x) ， g′(x)=(ex (x-1))/(6 x2) ，
令g′（x）=0，得x=1，且当0＜x＜1时，g′（x）＜0；当x＞1时，g′（x）＞0．
所以在x=1时，g（x）取得最小值为 (e)/(6) ，所以 a≤(e)/(6)
（II）证明：根据上凸函数的定义“f（x）是定义在闭区间[a，b]上的函数，若任意x，y∈[a，b]和任意λ∈（0，1），有f（λx+（1-λ）y）≤λf（x）+（1-λ）f（y）成立”
取x=x ₁ ，y=x ₂ ，λ=λ ₁ ，1-λ=1-λ ₁ =λ ₂ ，而任意正数λ ₁ ，λ ₂ ，λ ₁ +λ ₂ =1，x ₁ 、x ₂ ∈（a，b）
得不等式f（λ ₁ x ₁ +λ ₂ x ₂ ）≤λ ₁ f（x ₁ ）+λ ₂ f（x ₂ ）对于任意的x ₁ ，x ₂ ∈（a，b）恒成立．