设f（x）在[0，1]上可积，且m≤f（x）≤M，而g（x）在[m，M]上连续且下凸，证明g（∫10f（x）dx）≤∫10g（f（x））dx．

Question

设f（x）在[0，1]上可积，且m≤f（x）≤M，而g（x）在[m，M]上连续且下凸，证明g（

∫

1 0

f（x）dx）≤

∫

1 0

g（f（x））dx．

Answer 1

证明：因为f（x）在[0，1]上可积，且m≤f（x）≤M，
所以m≤

∫

1 0

f（x）dx≤M．①
因为g（x）在[m，M]上连续且下凸，
所以对于任意p∈[m，M]，存在实数r，使得∀x∈[m，M]，均有
g（x）≥r（x-p）+g（p）．②
综合①②，在②中取p=

∫

1 0

f（x）dx，x=f（x） 可得，
g（f（x））≥r（x-

∫

1 0

f（x）dx）+g（

∫

1 0

f（x）dx）．
在上式中，对x从0到1积分可得，

∫

1 0

g（f（x））dx≥g（

∫

1 0

f（x）dx）．