已知数列{Cn}=2的n次方+3的n次方,且数列{Cn+1-PCn}为等比数列,求常数P.Cn+1中n+1是下标

Question

已知数列{Cn}=2的n次方+3的n次方,且数列{Cn+1-PCn}为等比数列,求常数P.Cn+1中n+1是下标

Answer 1

{Cn}=2n＋3n
{Cn+1－PCn}=2n+1＋3n+1－P(2n＋3n)
=2×2n＋3×3n－P2n－P3n
=(2－P)×2n＋(3－P)×3n
因为{Cn+1－PCn}是等比数列,
所以{Cn+1－PCn}2={Cn－PCn-1}×{Cn+2－PCn＋1}
[(2－P)×2n＋(3－P)×3n]2=[(2－P)×2n-1＋(3－P)×3n-1]×[(2－P)×2n+1＋(3－P)×3n+1]
(2－P)2×(2n)2＋(3－P)2×(3n)2+2×[(2－P)×2n]×[(3－P)×3n]= [(2－P)×2n-1]×[(2－P)×2n+1]＋[(3－P)×3n-1]×[(3－P)×3n+1]＋[(2－P)×2n-1]×[(3－P)×3n+1]+ [(3－P)×3n-1]×[(2－P)×2n+1]
(2－P)2×22n＋(3－P)2×32n＋2×[(2－P)×2n]×[(3－P)×3n]= (2－P)2×22n＋(3－P)2×32n＋(2－P)×2n-1×(3－P)×3n+1＋(2－P)×2n+1×(3－P)×3n-1
去掉两边一样的(2－P)2×22n＋(3－P)2×32n部分,得
2×(2－P)×(3－P)×2n×3n=3/2×(2－P)×(3－P)×2n×3n＋2/3×(2－P)×(3－P)×2n×3n
此时,当P不等于2且不等于3时,可约去两边(2－P)×(3－P)×2n×3n的部分,得到2=3/2＋2/3,这是不可能的.所以只有当P=2或P=3时,才满足条件.
注:做得有点仓促,不知对不对,我想应该没错
上下标无法注明,推导过程还是比较传统的,没有什么新意,这题的解题关建还是在最后部分.
我把解题过程上传到我的像册里了,你可以看一下.