{an}的前n项和为Sn,a1=2,3Sn=5an-an-1（n-1都为下标）+3Sn-1（n-1都为下标）（n>=2）问题看补充（1）an的通项公式（2）若bn=（2n-1）an,求bn的前n项的和Tn

Question

{an}的前n项和为Sn,a1=2,3Sn=5an-an-1（n-1都为下标）+3Sn-1（n-1都为下标） （n>=2）问题看补充
（1）an的通项公式 （2）若bn=（2n-1）an,求bn的前n项的和Tn

Answer 1

1）
3Sn=5an-a(n-1)+3S(n-1)
3[Sn-S(n-1)]=5an-a(n-1)
3an=5an-a(n-1)
2an=a(n-1)
an/a(n-1)=1/2
所以an是公比为1/2的等比数列
an=2*(1/2)^(n-1)=(1/2)^(n-2)
2)
bn=(2n-1)*(1/2)^(n-2)
Tn=1×2+3×1+5×(1/2)+……+(2n-1)×(1/2)^(n-2)
两边乘以2
2Tn=1×4+3×2+5×1+……+(2n-1)×(1/2)^(n-3)
错位相减
2Tn-Tn=4+2[2+1+1/2+……+(1/2)^(n-3)]-(2n-1)×(1/2)^(n-2)
=4+4×(1-(1/2)^(n-1))/(1-1/2)-(2n-1)/2^(n-2)
=12-(2n+3)/2^(n-2)