如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为a、b，求证：AD•BD=a2-b2．

Question

如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为a、b，求证：AD•BD=a²-b²．

Answer 1

证明：作OH⊥AB于H，如图，连结OA、OC，
∵OH⊥AB，
∴CH=DH，AH=BH，
∴AD•BD=（AH+DH）（BH-DH）
=（AH+CH）（AH-CH）
=AH²-CH²，
在Rt△AOH中，AH²=OA²-OH²=a²-OH²，
在Rt△COH中，CH²=OC²-OH²=b²-OH²，
∴AH²-CH²=a²-b²，
∴AD•BD=a²-b²．