将3个小球随机地放入4个盒子中,求盒子中球的最多个数分别为1,2,3的概率

Question

  将3个小球随机地放入4个盒子中,求盒子中球的最多个数分别为1,2,3的概率

Answer 1

在这块儿不好写数学符号,所以约定：
C(m)(n)为从n个xx中任选m个xx的可能的组合数量,C(m)(n) = [n*(n-1)*...*(n-m+1)]/[m*(m-1)*...*1]
A(m)(n)为将n个xx中任选m个xx进行排列的可能数量,A(m)(n) = n*(n-1)*...*(n-m+1)
n(m)表明n的m次方.
令P(1),P(2),P(3)为盒子中求最多个数为1,2,3的概率.（这里认为每种小球是不同的）
将三个小球放入4个盒子中的所有的可能有4(3)=64种情况.
最多个数为1个的情况为,从4个盒子中任选3个,再将三个小球任意放进去,
即C(3)(4)*A(3)(3)=24.
P(1) = 24/64 = 3/8.
最多个数为2个的情况为,从4个盒子中任选2个,再将小球分为2组(一组1个,另一组2个),再将两组随机放到两个盒子中,
即C(2)(4)*C(2)(3)*A(2)(2) = 36
P(2) = 36/64 = 9/16.
最多个数为3个的情况为,从4个盒子中任选1个,再将所有小球放进去,
即C(1)(4)=4
P(3)= 4/64 = 1/16
P(1)+P(2)+P(3)=1