将函数f(x)=∫(0→x)（ln(1+t)）/tdt展开为x的幂级数

Question

将函数f(x)=∫(0→x)（ln(1+t)）/t dt展开为x的幂级数

Answer 1

f(x)=∫(0,x) (ln(1+t))/t dt
同时对x求导：
f'(x)=ln(1+x)/x
xf'(x)=ln(1+x)
=∑(n=1,∞) (-1)^(n-1)*(1/n)*x^n
因此,
f'(x)=∑(n=1,∞) (-1)^(n-1)*(1/n)*x^(n-1)
=∑(n=1,∞) (-1)^(n-1)*(1/n^2)*nx^(n-1)
再同时求积分：
f(x)-f(0)=∑(n=1,∞) (-1)^(n-1)*(1/n^2)*x^n
f(0)=0
因此,
f(x)=∑(n=1,∞) (-1)^(n-1)*(1/n^2)*x^n,x∈(-1,1]
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