将101520304060填入圆圈内,使3个数积都相等(为什么这么填?)是怎么想的?

Question

将10 15 20 30 40 60填入圆圈内,使3个数积都相等(为什么这么填?)
是怎么想的?

Answer 1

20
15 60
40 30 10
分析：
初步判断,60不能在一个角上.理由如下:
若60在一个角上,则角两边分别有两个数,AB和CD
对剩下的数分析10,15,20,30,40
在其中取4个,而他们中有2个数是3的倍数,而只能剩下一个
故必然ABCD中要取一个3的倍数.
而由AB=CD,知两个三的倍数即15,30都要取,而且不是一条边
再对剩下的10,20,40分析.只能找到
40*15=30*20的组合,即把10剩下,填到该角正对的边上
可是每边的乘积为40*15*60=30*20*60=36000
那么该角所对边除了10外,剩下两数乘积应为3600.
可是它们最大只能是30*40=1200.
故综上所述,60不能在角上.所以60只能在一条边上
又考虑到:六个数中只有15,30,60是3的倍数
且都只能分解出一个质因子3,因此15,30,60
只能同时在三个角上,或同时在三条边上
否则就会出现有一条边上三数之积为9甚至27的倍数.而其他至少有一条边只能分解一个质因子3.与"每条边上3个数的积都相等"矛盾
再综合最上面的结论,知15,30,60在三角形的三条边上
现在画一个三角形ABC,D在BC上,E在AC上,F在AB上
不妨让D是15,E是30,F是60
由AFB=BDC知A:C=D:F=1:4
在10,20,40中只能找到10:40=1:4 故A为10,C为40.因此B=20
代入验证正确,故这种填法可以.
实际上,从本质来讲只有这一种填法
其他填法都是由此轮回对换,或对称得到