一个数除于7余1,除于8余7,除于9余3,问这个数最小是多少?能不能用方程来计算呀？怎么算？

Question

一个数除于7余1,除于8余7,除于9余3,问这个数最小是多少?
能不能用方程来计算呀？怎么算？

Answer 1

这个是中国历史上著名的韩信点兵问题,也叫孙子问题(物不知数).
固定的解法是这样的：
【题】
一个数除于7余1,除于8余7,除于9余3,问这个数最小是多少?
【解】
先随便求一个能被7和8整除且除以9余3的数.有固定的方法：
56m-9n=3
（计算前要先把式子两边约一下,这时候没有公因子,不用约）
两个系数56和9,56大,就让56除以9,商6余2,于是
可以化简为(6*9+2)m-9n=3,2m-9(n-6m)=3,令k=n-6m,有
2m-9k=3
两个系数2和9,9大,9除以2商4余1,于是
又可以同样化简2m-(4*2+1)k=3,2(m-4k)-k=3,令i=m-4k,有
2i-k=3
这时候,有一个系数是1,遇到系数是1的时候,要留一个1,即2=1*1+1,而不是2=2*1+0.同样令j=k-i,有
i-j=3
这时候,两边系数都是1,就不能化简了,令j=0,有i=3
代回去,算出k=j+i=3,m=i+4k=15
令a=56m=840,则7|a,8|a,且a除以9余3.
按照同样的方法,找到：
b=3087,7|b,9|b,且b除以8余7
c=288,8|c,9|c,且c除以7余1
然后把三个数加起来
a+b+c=4215,显然这个数满足被7除余1,被8除余7,被9除余3,但不一定是最小
7,8,9三个数的最小公倍数（有固定的算法）是7*8*9=504
然后用4215除以504,商8余183
183就是结果.
PS:以上解法是固定的算法,对于任意大的数字均可以用该算法求解,不需要试探和猜测.其中求最小公倍数也有固定的算法,即用辗转相除法求得最大公约数间接求得.